Ja, Du kannst Deinen Hund innerhalb Europas mitnehmen, wenn ...
... wenn der Hund kein sogenannter "Listenhund" ist (einige Länder verweigern die Einreise von bestimmten Hunderassen oder Mischlingen, bei denen bestimmte Hunderassen mitgemischt haben).
... wenn er einen europäischen Heimtierausweis hat (der blaue) und einen Mikrochip, dessen Nummer dort eingetragen ist. Den Chip setzt der Tierarzt ein. Dann würde ich ihn auch gleich bei www.tasso.net anmelden.
UND
... wenn er einen positiven Titertest hat, also eine Bestätigung, dass der Hund genügend Antikörper gegen Tollwut aufgebaut hat. Dieser Test dauert seine Zeit, ich würde ein halbes Jahr vor der Reise anfangen, die einzelnen Formalitäten zusammenzusammeln.
Diverse Entwurmungen oder Impfungen gegen Mittelmeerkrankheiten (da gibt es noch einen offiziellen umfassenden Namen, der mir entfallen ist) können bei einigen Ländern dazu kommen, außerdem Untersuchungen beim Amtstierarzt.
Reisen mit Hund kann wirklich eine lange Vorbereitungszeit bedeuten. Gerade in den skandinavischen Ländern ist es nicht einfach.
Sprich am besten Deinen Tierarzt an oder schau auf den entsprechenden Seiten des Auswärtigen Amtes. Dort sind die Bestimmungen für die einzelnen Länder auch zu finden.