Oh, das ist keine leichte Frage und ich würde fragen, wie mobil (zu Fuß bzw. mit dem Auto) der Gast ist. Ein Wochenende ist sehr wenig.
Anhalter1960 hat schon viele Aspekte angesprochen. Wenn man gut zu Fuß unterwegs ist aber es nicht übertreiben will, dann ist die Wanderung zum Brocken vom Soldatenfriedhof über Dreickiger Pfahl kurz und leicht zu bewältigen.Allerdings hat man auf dem Brocken über 300 Tage im Jahr schlechte Sichtverhältnisse. Wenn man dann schon oben ist, dann sollte man das Brockenmuseum unbedingt besuchen.
Beim Wandern auf den Flächen rechts und links vom Okertal kann man auch einige unvergessliche Impressionen mitnehmen, also z.B. die Kästeklippen und deren Hinterland auf der Hochfläche.
1000 Jahre Harzer Bergbau sind auch nicht wegzudenken, (wie von Anhalter1960 schon erwähnt) Rammelsberg (Goslar) oder eines der anderen Schaubergwerke sind absolute Pflicht für jeden irgendwie technisch oder geologisch Interessierten.